裴蜀定理
期末考前的倒数第二个周末，我还来学这无关紧要的东西，并且写博客……
引言
裴蜀定理 $(Bézout’s identity)$ 又叫贝祖定理，不得不说，音译真是神（mo）奇（gui）。
还有一个有趣的东西，证明裴蜀定理的并不是裴蜀。
声明
$a$ 除以 $b$ 和 $a$ 除 $b$是不同的，前者对应 $a \div b，$后者对应 $b \div a$ 。
符号$“|”$表示$“$能整除$”，a|b$ 表示 $a$ 能整除 $b，$即 $b$ 是 $a$ 的倍数。
内容
$ax+by=c(x\in N^+, y \in N^+ ) \Leftrightarrow gcd(a,b)|c$
证明
感觉不是很严谨
设 $d=gcd(a,b)$，则 $d|a$， $d|b$
$\because x,y \in N^+$
$\therefore d|ax，d|by$
若 $ax+by=c$ 成立，则 $c$ 是 $(a,b)$ 的公约数的倍数
$\because x,y \in N^+$
$\therefore gcd(a,b)|c$
推论
$a,b$ 互质 $\Leftrightarrow$ 存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=1$
推广
n个整数间的裴蜀定理及推论
设 $a_1,\ldots a_n$ 共 $n$ 个整数，$d$ 是它们的最大公约数，那么存在整数 $x_1,\ldots x_n$ 使得 $a_1x_1+\ldots +a_nx_n=d$
如果 $a_1,a_2,\ldots a_n$ 互质，那么存在整数 $x_1,\ldots x_n$ 使得 $a_1x_1+\ldots +a_nx_n=1$